친할머니가 요양병원에 계시다 사망하시고 국민건강보험공단에서 '본인부담상한액 초과금' 지급 안내문과 '본인부담사한제 사후환급금 상속대표 선정 동의서' 우편을 받았습니다.

할머니는 저희 아버지 포함 자식이 4명 있으나 가족관계증명서상 확인되지 않는 가족사가 있습니다.
할아버지는 첫번째 부인과 결혼하여 자식 1명 낳았으나 부인이 자식을 데리고 도망나가고, 할머니와 재혼하여 자식 4명을 낳고 돌아가셨습니다.
살아계셨을때 할어버지는 첫번째 부인이 다시 돌아올것을 기대해 첫번째 부인과의 혼인관계를 정리 안했다고합니다.
그래서 할머니는 서류상 혼자 계시고, 자식들과도 가족관계증명서상 증명되지 않습니다.

자식 4명중 1분 돌아가시고 3명 있으며, 시골 하동에 할머니 혼자 계실때도 저희 아버지가 경제적 지원을 거의 다 하셨으며, 치매로 요양병원도 저희집 부산 근처로 모셨으며, 10년 계시면서 병원비, 기타 물품비용, 면회 등 대부분을 저희 아버지가 하셨습니다.
저희집은 경제적으로 풍요롭지 못하고 어쩌면 남들보다 부족한 집입니다.

가족관계증명서상 확인되지 않아 돈을 받을수 없어, 공단에서는 '특별연고자 상속재산분여 결정문'을 제출한다면 지급가능하다는 안내를 받았습니다.
저희 사연으로 소송을 진행하여 좋은 결과를 낳을 수 있는지 여부와 한다면 진행과정과 시간 그리고 저희가 인터넷 전자소송으로 할수 있는지 아니면 법무사를 통해 할수 있는지 궁금하여 글을 올립니다.

성심껏 답변 부탁드립니다.