안녕하세요 
내년 배우자의 휴직을 준비 하던 중 알게 된 사실로 구제를 받을 방법이 있을까 하여 문의드립니다.

본인은 공공기관 공무직으로 근무중이며 2018년 11월 28일 ~ 2019년 11월 29일
육아휴직 1년을 사용하였습니다.
휴직 기간중 고용노동부에서 지급하는 육아 휴직 급여를 1원도 받지 못하였습니다. 받지 못한 휴직 급여 대략 1800만원입니다.
휴직 당시 휴직 급여가 어떤식으로 지급되는지 인지는 하고 있었으나
본인은 해당이 안되는 것이라 생각했습니다. 

사유는 근무지 단체 협약에 육아 휴직 시 급여는 휴직기간동안 매월 기본급의 40%를 지급 한다는 내용이 있었고 회사 내규를 우선으로 따른다고 생각했습니다. ( 노동부 급여 지급을 중복하여 받을 수 있다고 생각하지 못함)
공공기관이다 보니 일반 근로기준법을 바탕으로 따르기는 하나 별개로 협약 된 것들이 몇몇 있습니다. 

해당 사실을 알고 노동청에 문의 한 결과 육아휴직급여 청구권 소멸시효기간이 휴직종료날로부터 5년이지만 1번이라도 급여 신청을 했을 경우만 해당이 된다고 안내 받았습니다.( 저는 한번도 신청 하지 못함). 

그리고 고용센터에 제가 육아 휴직을 사용한 내역이 없습니다. 사업주에서 휴직 당시 고용센터에 등록을 안함. 이럴 경우 다른 방법으로 구제 받을 수 있는게 있을까요. 행정 소송을 진행해야하는 것인지..
소송을 한다면 어떻게 진행을 해야하는 건지 ..
  
받지 못한 급여가 적은 금액이 아니다 보니 너무 답답한 심정입니다.
답변 부탁드립니다.